Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 10 - 5 i}{- 6 + 6 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 10 - 5 i}{- 6 + 6 i}$ par le conjugué de $- 6 + 6 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 10 - 5 i}{- 6 + 6 i} \cdot \frac{- 6 - 6 i}{- 6 - 6 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 10 - 5 i) (- 6 - 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(- 10 - 5 i) (- 6 - 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 (- 6 - 6 i) - 5 i (- 6 - 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 \cdot - 6 - 10 (- 6 i) - 5 i (- 6 - 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 \cdot - 6 - 10 (- 6 i) - 5 i \cdot - 6 - 5 i (- 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 10$ par $- 6$ .

$\frac{60 - 10 (- 6 i) - 5 i \cdot - 6 - 5 i (- 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 10$ .

$\frac{60 + 60 i - 5 i \cdot - 6 - 5 i (- 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i - 5 i (- 6 i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 5 i (- 6 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 i i}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 (i^{1} i)}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 (i^{1} i^{1})}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 i^{1 + 1}}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 i^{2}}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i + 30 \cdot - 1}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $30$ par $- 1$ .

$\frac{60 + 60 i + 30 i - 30}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $30$ de $60$ .

$\frac{30 + 60 i + 30 i}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $60 i$ et $30 i$ .

$\frac{30 + 90 i}{(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 6 + 6 i) (- 6 - 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 + 90 i}{- 6 (- 6 - 6 i) + 6 i (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 + 90 i}{- 6 \cdot - 6 - 6 (- 6 i) + 6 i (- 6 - 6 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 + 90 i}{- 6 \cdot - 6 - 6 (- 6 i) + 6 i \cdot - 6 + 6 i (- 6 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 - 6 (- 6 i) + 6 i \cdot - 6 + 6 i (- 6 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i + 6 i \cdot - 6 + 6 i (- 6 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i + 6 i (- 6 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i - 36 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i - 36 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i - 36 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i - 36 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36 i - 36 i - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $36 i$ de $36 i$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 0 - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 - 36 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 - 36 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$\frac{30 + 90 i}{36 + 36}$

Étape 2.3.4

Additionnez $36$ et $36$ .

$\frac{30 + 90 i}{72}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $30 + 90 i$ et $72$ .

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\frac{6 (5) + 90 i}{72}$

Étape 3.2

Factorisez $6$ à partir de $90 i$ .

$\frac{6 (5) + 6 (15 i)}{72}$

Étape 3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (5) + 6 (15 i)$ .

$\frac{6 (5 + 15 i)}{72}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $72$ .

$\frac{6 (5 + 15 i)}{6 \cdot 12}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (5 + 15 i)}{6 \cdot 12}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 + 15 i}{12}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{5 + 15 i}{12}$ en deux fractions.

$\frac{5}{12} + \frac{15 i}{12}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $15$ et $12$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $15 i$ .

$\frac{5}{12} + \frac{3 (5 i)}{12}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{5}{12} + \frac{3 (5 i)}{3 (4)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{12} + \frac{3 (5 i)}{3 \cdot 4}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{12} + \frac{5 i}{4}$